In questo articolo si andrà a descrivere, con parole semplici, l’oscillatore semplice smorzato e non smorzato ad un grado di libertà.
L’oscillatore semplice è una modellizzazione semplificata di una massa concentrata (m), che si può spostare in una direzione, vincolata da una rigidezza (k) fornita di una molla.
Dove per rigidezza, indicata con la lettera k, si intende la forza che, una volta applicata, produce uno spostamento unitario.
L’oscillatore semplice smorzato e non smorzato, nel linguaggio anglosassone, viene definito come SDOF, che è l’acronimo di single degree of freedom.
Nella realtà un oscillatore semplice potrebbe rappresentare il comportamento dinamico di un serbatoio pensile o di un telaio in c.a. formato da un solo piano.
Nell’ oscillatore pensile, per esempio, la molla rappresenta la rigidezza del fusto verticale, mentre la massa risulta concentrata nella parte superiore del serbatoio.
Per modelizzare, attraverso una formula, il comportamento dell’oscillatore semplice, sì esegue l’ipotesi che la molla lavori sempre in campo elastico lineare.
Nell’ oscillatore semplice, privo di smorzamento, agiscono due forze: La forza di inerzia (massa per accelerazione) e la forza di richiamo (rigidezza per lo spostamento), che si equilibrano a vicenda.
Di conseguenza l’equazione differenziale di equilibrio dinamico vale:
Introducendo il concetto di frequenza angolare:
Dove il periodo T:
Dove la pulsazione risulta essere:
Per rendere il modello più realistico, si introduce lo smorzamento, che ha il compito di smorzare l’ampiezza facendola diminuire pian piano.
Lo smorzamento rappresenta la dissipazione di energia che avviene durante il moto, le principali cause di dissipazione sono la resistenza dell’aria, l’attrito tra l’asta e il perno, ed altro.
Lo smorzamento avviene mediante delle azioni di tipo viscoso, date dal prodotto tra il coefficiente di smorzamento viscoso e la velocità.
Di conseguenza, l’equazione di equilibrio dinamico diventa:
Ovvero:
Dove:
L’equazione di equilibrio dinamico dipende dal coefficiente ξ, infatti:
Se il coefficiente ξ ha un valore minore di 1 l’ampiezza va man mano decrescendo.
Se il coefficiente ξ ha un valore pari a 1 si ha lo smorzamento critico.
Se il coefficiente ξ ha un valore maggiore di 1 l’oscillatore semplice raggiunge la posizione di quiete senza oscillare.
Bibliografia:
Aurelio Ghersi e Pietro Lenza, Edifici in cemento armato, nuove normative tecniche eurocodici e classi di rischio sismico, Editore: Dario Flaccovio. Anno: 2018.
