Circolo di Mohr esercizio svolto passaggio dopo passaggio

Circolo di Mohr esercizio svolto passaggio dopo passaggio, al fine di fornire le nozioni di base per comprendere al meglio l’argomento, introducendo, dove necessario, alcune nozioni teoriche.

Il circolo di mohr è un grafico avente come ascisse le tensioni sigma (lettera greca σ), mentre per ordinate le tensioni tau (lettera greca τ).

Le tensioni sigma nascono quando sul corpo sono agenti delle sollecitazioni di sforzo normale, come per esempio compressione o trazione, oppure un momento flettente.

Le tensioni tau nascono quando sul corpo sono agenti delle azioni taglianti, come per esempio il taglio oppure il momento torcente.

Un punto sul circolo di Mohr, chiamato anche cerchio di Mohr, rappresenta lo stato di tensione in un generico punto.

Il cerchio di Mohr permette inoltre di determinare altre informazioni importanti, come per esempio le tensioni principali e le direzioni principali.

Al fine di comprendere al meglio come avviene il disegno di questo circolo, si propone la realizzazione del seguente esercizio:

Sia assegnato il seguente stato tensionale piano in un generico punto:

σ_x = -60 Mpa   σ_y = 60 MPa   τ_xy= -80 MPa

Determinare le tensioni principali mediante il metodo analitico e mediante il metodo grafico del circolo di Mohr.

Per prima cosa si procede a disegnare il tensore degli sforzi nella sua forma generale:

Il tensore degli sforzi è una matrice, nel caso in esame, assumerà la seguente forma:

Successivamente si determina l’equazione caratteristica, che permette di determinare gli autovalori (λ) della matrice, ovvero:

det (A – Iλ)

Dove:

A è il tensore degli sforzi;

I è la matrice identità;

λ sono gli autovalori.

Da cui si ricava che:

Di conseguenza

σ₁ = λ₁ = – 100 MPa   σ₂ = λ₂ = 0 MPa   σ₃ = λ₃ = 100 MPa

Un altro metodo è quello grafico, il quale consiste nel tracciare nel grafico i punti aventi coordinate (-60 MPa ;80 MPa) e (60 MPa;-80 MPa).

Per poi congiungerli mediante un segmento e determinare il centro, che nel caso in esame coincide con l’origine del sistema degli assi cartesiani.

Infine, mediante un compasso, tracciare la circonferenza avente centro nell’origine e ampiezza pari a metà lunghezza del diametro.

Bibliografia:

Erasmo Viola, Esercitazioni di Scienza delle costruzioni/2, Casa editrice Pitagora (Bologna), anno 1985.